Hva er Binomial utvidelse?

Å utvide binomialer ser komplisert ut, men det er ganske enkelt å multiplisere et binomial med seg selv et antall ganger. Det er faktisk et mønster for hvordan binomialet ser ut når det multipliseres med seg selv om og om igjen, og et par forskjellige måter å finne svaret for en bestemt eksponent på eller å finne en viss del av det resulterende polynomet.

Binomialer er ligninger som har to ledd. For eksempel har a+b to ledd, ett som er «a» og det andre som er «b». Polynomer har mer enn to ledd. Å multiplisere et binomial i seg selv vil skape et polynom, og jo flere ganger det multipliseres, jo lengre kan det resulterende polynomet være. Å utvide et binomial som (a+b) til en eksponent på 2 er relativt enkelt. Men når mye høyere eksponenter er nødvendig, er det viktig å forstå de involverte mønstrene og formlene for å få det riktige svaret.

Mønsteret mellom eksponenter for utvidede binomialer

Med et binomial som (a+b), betyr å multiplisere det med en eksponent å multiplisere det med seg selv det antallet ganger som er spesifisert i eksponenten. Med en eksponent på 2 blir dette et polynom med 3 deler. Med en eksponent på 3 har den 4 deler. Jo høyere eksponent, desto lengre er polynomet.

I det resulterende polynomet utvikler det seg et mønster med eksponentene. For en eksponent av 3 har den resulterende ligningen eksponenter for «a» som starter med 3 og går ned når ligningen leses fra venstre mot høyre. For «b» begynner eksponentene på 0 og går opp til 3.

Ved å plugge tallene inn i a6(n-k)b(k), der k er den delen av det resulterende polynomet som trengs og n er eksponenten, er det mulig å bestemme eksponentene til alle leddene i polynomet. Start helt til venstre og k=0 for å finne eksponentene for hvert ledd i polynomet.

Bestemme koeffisienten for utvidede binomialer

Å finne koeffisienten for disse begrepene innebærer å bruke Pascals trekant. Det første tallet som brukes er 1, etterfulgt av tallet på eksponenten. Derfra kan eleven bestemme resten av koeffisientene i polynomet ved å følge linjen i Pascals trekant.

En annen måte å finne koeffisientene på er å bruke formelen n!/(k!(n-k)!). Hvis binomialet som utvides har eksponenten 3 og den andre koeffisienten er den som trengs, vil formelen fungere som følger: 3!/(2!(3-2)!) = 3!/2!1! = 3x2x1/2x1x1 = 6/2 = 3.

Den binomiale teorem

Binomialteoremet er en måte å løse utvidelsen av et binomial til en hvilken som helst eksponent på. Imidlertid vil det ofte ikke være den enkleste måten å løse problemet på. Hvis bare ett ledd er nødvendig, vil det være lettere å løse ved å bestemme eksponentene og løse for koeffisienten. Forståelse av Binomial Theorem gjør det imidlertid mulig for en student å gjøre alle de ovennevnte beregningene på én gang for å få hele polynomet fra binomialutvidelsen.

Selv om det er enkelt å jobbe med et binomial med en eksponent på 2 eller til og med 3, kan det være mer komplisert å løse for høyere eksponenter. Formlene her kan gjøre det lettere for en student å løse for en hvilken som helst eksponent eller finne bare ett begrep for det resulterende polynomet for en hvilken som helst eksponent.

Les også: Primtallsfaktorisering