Hva er Fibonacci-rekken?

Hver skapning på jorden deler et visst felles bånd. Det er ikke et komplisert, dypt skjult element eller en annen verdensforbindelse; det er bare en enkel sannhet. Vi inngår alle på et tidspunkt, og vi forlater alle våre eksistenser på et annet punkt langs linjen.

Mellom disse begynnelses- og sluttpunktene har vi hver våre egne erfaringer. Noen deles med andre mennesker, mens andre er rent interne, men de påvirker oss alle på en eller annen måte. Er alle disse hendelsene rent tilfeldige, eller er det noe rim og grunn bak dem?

Mange filosofer, lærere, matematikere og livslever generelt tror ingenting er tilfeldig. En mann født i Italia for mer enn 800 år siden faller inn i denne kategorien. Han het Leonardo Pisano Bogollo, men i dag kjenner vi ham som Fibonacci. Han utviklet en forkjærlighet for tall i ung alder, og denne lidenskapen førte til en oppdagelse som var i stand til å endre måten folk ser på livet og verden rundt dem.

Fibonacci-rekken blir levende

Noen tror at hvis du ser nøye nok etter, kan du finne et mønster i hva som helst. Dette kan godt være sant, men Fibonacci var i stand til å trekke et spesifikt mønster fra sin kunnskap om tall og bevise at det kan tenkes å fortsette for alltid. Han påpekte Fibonacci-sekvensen i sin første bok, Liber abacci, hvor han stilte et matematisk basert ordproblem for alle å tenke på.

«En mann satte et par kaniner på et sted omgitt av en mur. Hvor mange par kaniner kan produseres fra det paret i løpet av et år hvis det antas at hvert par hver måned får et nytt par som den andre måneden blir produktiv fra?»

Dette kan være et godt tidspunkt å lage en kanne kaffe og finne ut hvor aspirinen befinner seg fordi tankene dine er i ferd med å bli blåst!

Ok, her går vi! Se, Fibonacci begrunnet at kaninene ville bli modne og parre seg i løpet av omtrent en måned, så etter at en måned gikk, var det fortsatt bare ett par kaniner. Siden svangerskapet deres også er en måned, tok den andre måneden slutt med fortsatt bare ett par. På slutten av den tredje måneden dukket imidlertid et andre par opp. Hunkaniner skal kunne føde en gang i måneden etter deres første kull, så i måned fire så det første paret et nytt.

Måned fem rullet rundt, og par en reproduserte seg igjen mens par to gjorde det samme. På dette tidspunktet var totalsummen fem par. Lang historie kort, på slutten av året bodde 377 par innenfor murens grenser.

Ser litt dypere

Riktignok tok Fibonacci noen ganske dristige sprang før han spådde fruktbarheten til denne fluffelen. Scenarioet hans dreide seg om noen svært kontrollerte forhold. For eksempel,

Hvert nye kull besto av to kaniner: en hann og en hunn
Alle var fysisk i stand til reproduksjon
Hver hunn var i stand til å starte reproduksjonsprosessen ved en måneds alder og føde et nytt kull hver måned etterpå
Alle kom seg gjennom hele året uten å bukke under for sykdom eller å bli sparket ut av anlegget av de andre kaninene
I sannhet kan det ta fire måneder eller mer for noen kaniner å bli modne. Opptil 12 avkom kan fødes i et enkelt kull, og ikke alle er garantert å overleve. Når du virkelig tenker på det, kan ukontrollerte tall og naturlig utvalg absolutt oppveie hverandre. Fibonaccis gjennomtenkte forhold kan lett stå for alle mulighetene og balansere vekten.

Bryter det ned

Alle disse ideene kan høres litt abstrakte ut i skriftlig form. Fibonaccis matematikk er selvfølgelig perfekt. Når du setter tallene der ordene står, blir det litt klarere. I Fibonacci-sekvensen starter du med 0 og 1, og går videre derfra. Enkelt sagt, det går slik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 og så videre.

Hvert nytt tall i sekvensen lages ved å legge sammen de to foregående tallene.

0+1=1

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8

5+8=13

8+13=21

13+21=34

21+34=55

34+55=89

Du kan fortsette i det uendelige, legge sammen de to siste tallene i sekvensen for å avsløre det neste. Selv om forklaringen høres lang og kompleks ut, er den egentlig ganske enkel. Saker blir ganske mye mer involvert fra dette punktet.

Fibonacci konseptet tar form

Vi er i ferd med å ta dette til et helt nytt nivå her. Se for deg tallene i Fibonacci-sekvensen representert av firkanter som de på et stykke millimeterpapir. Finn et startpunkt et sted nær midten av siden, og farg inn en enkelt firkant som representerer det første tallet i sekvensen (1). Ved siden av gjør du det samme til ære for den andre. Deretter, med to som det tredje tallet, bruk en annen farge for å skyggelegge et 2 x 2 kvadratrom. Derfra finner du en annen fargetone i et rom som måler 3 x 3 ruter og så videre. Du vil ende opp med en levende versjon av dette eksemplet:

Legger du merke til hvordan de passer perfekt sammen som biter av et puslespill? Det neste tallet i serien vil være 13, og figuren som tar form her måler tilfeldigvis 13 ruter på tvers. Når du jobber deg gjennom de større tallene, forblir mønsteret det samme. Hver ny firkant vil være større enn den neste, men etter tallene i Fibonacci-sekvensen, klikker de alltid pent på plass i nøyaktig forhold til tallene foran dem.

Nå, hvis du følger med på papir, ta en penn. Start i det øvre hjørnet av din første enkeltrute, og tegn den første fasen av en spiral som går til det motsatte hjørnet, og skjær firkanten i to. Fortsett linjen over den neste enkeltblokken og videre gjennom de følgende, og trekk spiralen over det diagonale midten av hver større firkant. Du vil ende opp med noe sånt som dette:

Fibonaccis spiral og rektangelet skapt av tallsekvensen hans er kjent som det gylne rektangelet på grunn av deres forbindelse til det gylne snitt. Som et tall er denne magiske figuren 1,61803, og den er representert med den greske bokstaven Phi (Φ). Det kan begynne å virke som vi hopper litt rundt, men alt dette er virkelig relevant.

I geometri skapes det gyldne snitt når du deler en linje i to stykker, men ikke bare to stykker. Linjen må deles på akkurat det rette stedet der hele linjen delt på lengden på den lengste delen av inndelingen er nøyaktig lik det lengste segmentet delt på det korteste. Du gjettet riktig: begge tallene må være 1,61803.

Rektangler laget med Golden Ratio sies å være de mest behagelige du noen gang vil se. Dette bringer oss tilbake til Fibonacci. Som det viser seg, når du tar to påfølgende tall i rekkefølgen deres og finner forholdet deres ved å dele det større med det mindre, er det ekstremt nær den eldgamle gullstandarden. Se dette!

21/13 = 1,61538

89/55 = 1,47272

121393/75025 = 1,61803

Se på det! Vi fant en vinner! Når alt er sagt, er Fibonacci-sekvensen, det gylne rektangelet og dets iboende spiral rundt oss. Du er på nippet til å finne ut hvordan og hvor.

Spiraler inn i fullstendig kontroll

Før du leser videre, må du være helt sikker på at du er klar til å ta dette spranget. Dette er bare et lite vennlig råd. Når du først ser det, kan du ikke se det, og det forandrer livet!

Det gylne rektangelet generert av Fibonacci’s Sequence har dukket opp over hele verden i århundrer. Et hovedeksemplar er Parthenon i Hellas. Tallrike forekomster av det gylne snitt og rektangel finnes inne og ute i både stor og liten skala.

Leonardo da Vincis Mona Lisa kan betraktes som en annen visning av det nesten gylne snittet på jobb. Dens dimensjoner sies å være 30 tommer x 21 tommer. Når du følger standardplanen, kommer den større siden av rektangelet delt på den mindre til 1,42857. Det er ikke et eksakt samsvar, men det er nært.

På vei til Egypt finner vi et annet mulig eksempel i den store pyramiden i Giza. Den største av de tre pyramidene, denne måler 756 fot bred og 481 fot høy. Når du regner, er forholdet 1,57172; igjen, det er rett på grensen.

Kunstner Piet Mondrian setter inn Fibonacci-sekvensen i noen av maleriene sine også. Du kan tydelig se puslespillbrikkene som utgjør det gylne rektangelet i visse eksempler på hans arbeid. Hvis du ser på det lenge nok, kan tankene dine til og med begynne å tegne i spiralen.

Dette er bare noen få allment kjente tilfeller av at dette mønsteret har blitt bearbeidet til kunst, arkitektur og ingeniørkunst gjennom århundrene. Mange mennesker insisterer på at det bare er tilfeldigheter, og henviser tilbake til det faktum at du kan finne mønstre i nesten alt hvis du leter etter dem. På samme måte ble noen av disse tilfellene til lenge før Fibonacci selv.

Mange kalker det opp til det åpenbare. Noen av de smarteste og mest estetisk tilbøyelige sinnene i historien står bak produksjonen av disse produksjonene. Ren logikk tilsier at de vil inkludere de mest visuelt tiltalende dimensjonene i arbeidet sitt, selv om det er på et underbevisst nivå.

Du kan rasjonalisere situasjonen på en rekke forskjellige måter, men den stikker enda dypere. Enkelte ting kan ikke ignoreres eller bortforklares.

Det er bare naturlig

Går du utenfor og ser deg rundt, finner du også Fibonacci i naturen, og det er ikke bare ett eller to forskjellige steder. Solsikker er et godt eksempel. Disse strålende gule kronbladene omgir en stor masse frø, men frøene er ikke ordnet på en tilfeldig måte; de spoler seg grasiøst ut fra midten av frøhodet.

Kongler er et annet mye brukt eksempel. Du vil legge merke til at piggene deres er ordnet i spiraler fra både med og mot klokken. Det samme gjelder ananas. Hvis du har en kristtornbusk i nærheten eller en lignende type busk, ta en titt på den. Til å begynne med ser det ut til at bladene vokser tilfeldig eller til og med i sirkulære mønstre. Ved nærmere undersøkelse vil du se at de faktisk er litt forskjøvet og løper i grove spiraler fra tupp til stamme.

Menneskeheten viser også små utdrag av det gylne rektangelet. Gjennomsnittlige voksne menneskeansikter måler åtte til ni tommer lange og seks til syv tommer brede. Hvis du regner ut forholdet mellom de to ytterpunktene, kommer det til 1,5, som er innenfor en brøkdel av Golden Ratio. Menneskehår har en tendens til å vokse utover i spiraler fra et sentralt punkt. Herfra og ut vil du begynne å se en versjon av sekvensen overalt hvor du ser. Ikke si at vi ikke advarte deg på forhånd!

Gjør matematikken

Som tilfellet er med de fleste matematiske situasjoner, er det regler for beregning av tall i denne serien. Den leveres komplett med sitt eget utvalg av formler. La oss først se på en demonstrasjon av den generelle regelen rundt Fibonacci-sekvensen:

xn = xn-1 + xn-2

Her gir «n» hvert tall i Fibonacci-serien et tilsvarende tall i vår tradisjonelle rekkefølge: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…

«Xn» representerer tallene i Fibonacci-sekvensen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Ved hjelp av regelen kan vi beregne et tall i rekkefølgen. La oss prøve den syvende:

x7 = x7-1 + x7-2

x7 = x6 + x5

x7 = 8 + 5

x7 = 13

Det er egentlig bare en annen måte å si: «Et spesifikt tall i Fibonacci-sekvensen er lik summen av de to tallene før det.»

Herfra blir det bare mer komplekst og involvert. Du vil finne et hvilket som helst antall ligninger og forklaringer rundt matematisk induksjon, lineær gjentakelse, plotting av sekvensen på grafer, etc.

Disse formlene er greske, hvis du vil unnskylde ordspillet, for de som prøver å hoppe med hodet først inn i den avanserte enden av spekteret. Med mindre du har litt bakgrunn om de faktiske problemløsningsteknikkene på jobb her, er det best å lette inn i situasjonen. Når du forstår det grunnleggende som formelen ovenfor, er det en enkel sak å ta små steg etterpå.

Tilslutt

Vi har alle felles bånd. Om de er tilfeldige og tilfeldige eller produkter av underliggende matematiske sekvenser og mystisk ordnet kaos er i stor grad et spørsmål om mening. Uansett hvor du står i saken, kan visse mønstre ikke overses eller lett avvises. Fibonacci så dette allerede som barn, og hans livsverk satte i gang et ustoppelig hendelsesforløp.

Les også: Logaritmer