Hvordan finne kvadratroten uten å estimere?

Hvordan finner man kvadratroten uten estimering. Typiske algoritmer for å gjøre kvadratrøtter for hånd krever estimering. Jeg har lært en annen algoritme som ikke er avhengig av estimering, men som i stedet bruker subtraksjon av påfølgende oddetall. Først gir jeg eksempler som illustrerer to situasjoner som kan oppstå. Deretter presenterer jeg en tredje situasjon (samt hvordan man skal forholde seg til kvadratrøttene til ikke-perfekte kvadrater).

Denne tilnærmingen er basert på det faktum at det n-te perfekte kvadratet er summen av de første n oddetall. Dette faktum kan brukes til å subtrahere påfølgende oddetall fra et gitt tall som man ønsker å finne kvadratroten for. Hvis tallet ikke er et perfekt kvadrat, kan denne metoden utvides ved å legge til par med nuller til det opprinnelige tallet og fortsette prosessen for hvert ekstra desimalsted man ønsker å finne.

Første regel for å finne kvadratroten

Det hjelper å se på et par eksempler for å illustrere to «spesielle tilfeller» som oppstår med noen tall, som krever en eller to ekstra «regler» eller trinn.

Ved å bruke eksempelet på 54 756:

Start med å markere sifferpar fra sifferet lengst til høyre: 5 | 47 | 56

Trekk deretter 1 fra sifferet eller paret lengst til venstre: 5 – 1 = 4.
Fortsett med neste odde heltall: 4 – 3 = 1.

Vi kan ikke trekke 5 fra 1, så vi teller hvor mange oddetall vi har trukket fra så langt (2) og merker det over 5.

Ta ned det neste sifreparet og legg det til 1-en som gir 147.

For å få det neste odde hele tallet å trekke fra, multipliser det siste oddetall trukket fra med 10 og legg til 11 (dette er regel #1) til produktet. Her har vi 10 x 3 + 11 = 41. Fortsett som tidligere, og trekk 41 fra 147 = 106.
Trekk fra neste odde heltall, 43 fra 106 = 63.
Trekk fra neste odde heltall, 45 fra 63 = 18.

Igjen, vi kan ikke trekke 47 fra 18; telling har vi gjort 3 subtraksjoner og plassert 3 over paret 47. Multipliser 45 x 10 og legg til 11 = 461.

Ta ned det neste sifreparet, 56, og legg dem til de 18, og gir 1856.

Trekk fra 461 fra 1856 = 1395.
Trekk fra neste odde heltall, 463 fra 1395 = 932.
Trekk fra neste odde heltall, 465 fra 932 = 467.
Trekk fra neste odde heltall, 467 fra 467 = 0.
Stoppe.

Når vi teller hvor mange subtraksjoner, ser vi at det er 4 og vi skriver 4 over de 56.

Vårt svar er at 234 er kvadratroten av 54 756. Alternativt, i stedet for å holde en løpende sum av subtraksjonene og plassere sifrene over påfølgende sifrepar fra venstre, ta det siste tallet subtrahert, 467, legg til 1 og del resultatet med 2 = 234, det samme som det vi bestemte andre vei.

ANDRE REGEL

Et annet eksempel introduserer en annen regel som ikke tidligere var nødvendig: finn kvadratroten av 4.121.062.016 ved å subtraksjon av påfølgende odde heltall.

Begynn som ovenfor ved å lage sifferpar fra sifferet lengst til høyre: 4 | 12 | 10 | 62 | 40 | 16

Trekk fra 1 fra 4 = 3.
Trekk 3 fra 3 = 0.
Skriv ned 2 for de to subtraksjonene over 4.
Få ned det neste sifferparet, 12.
Multipliser 3 x 10 og legg til 11 = 41.
Merk at 41 er for stort til å trekke fra 12.
Skriv 0 over 12, siden vi gjorde 0 subtraksjoner.

Ta ned det neste sifreparet, 10, og legg til 12 => 1210.

Sett inn en 0 til venstre for det siste sifferet i 41 => 401. (Dette er regel #2)
Trekk fra 401 fra 1210 = 809.
Trekk fra neste odde heltall, 403, fra 809 = 406.
Trekk fra neste odde heltall, 405 fra 406 = 1.

For de tre subtraksjonene, skriv 3 over 10.

Få ned neste par med heltall, 62 og legg til 1 => 162
Multipliser 405 med 10 og legg til 11 = 4061.
Vi må bruke regel #2 igjen. Skriv 0 over 62, få ned neste sifrepar, 40, og legg til 162 => 16240.
Sett inn 0 til venstre for det siste sifferet i 4061 => 40601.

Merk at dette fortsatt er for stort til å trekke fra 16240.
Bruk regel #2 igjen (og den må kanskje brukes mer enn to ganger i spesielle tilfeller).
Skriv 0 over 40, få ned 16 og legg til 16240 => 1624016.
Sett inn en 0 til venstre for det siste sifferet i 40601 => 406001.

Trekk fra 406001 fra 1624016 = 1218015.
Trekk fra neste odde heltall 406003 fra 1218015 = 812012.
Trekk fra neste odde heltall, 406005 fra 812012 = 406007.
Trekk fra neste odde heltall, 406007 fra 406007 = 0.
Skriv en 4 over det siste sifreparet, 16.

Kvadratroten av 41210624016 = 203 004.

Igjen, vekselvis, er svaret = (406007+1) / 2 = 203.004.

TREDJE REGEL

Det er en gruppe tall som prosessen tidligere beskrevet ikke vil fungere for. Prøv for eksempel å bruke den til å finne kvadratroten av 100.

Gruppering som før: 1 | 00

Å trekke 1 fra 1 = 0.

Skriv 1 over 1-en, få ned neste sifrepar, 00, og legg til 0-en.

Multipliser 1 x 10 og legg til 11 = 21.

Kan ikke trekke 21 fra 0. Hmm. Selv om vi vet at svaret er 10, for å få ting til å fungere, kan vi merke oss følgende, som er regel #3:

Hvis du vil ha kvadratroten av et helt tall som ender på to eller flere nuller, skriv tallet som et produkt av et tall og en e

ven potens av ti.

Så 100 = 1 x 10^2.

Vi får at kvadratroten av 1 = 1, legger til en null for hvert par nuller i det opprinnelige tallet, og Bob er onkelen din. (Eller noe sånt).

For å finne kvadratroten av 3 610 000, fjern for eksempel to par nuller fra det opprinnelige tallet, og bruk deretter den opprinnelige prosedyren:

Gruppe: 3 | 61.

Trekk fra 1 fra 3 = 2

Kan ikke trekke fra 3 fra 2, så skriv 1 over 3, ta ned neste sifre og legg dem til 2 => 261.

Multipliser 1 x 10 og legg til 11 = 21.

Trekk fra 21 fra 261 = 240.
Trekk fra 23 fra 240 = 217
Trekk fra 25 fra 217 = 192
Trekk fra 27 fra 192 = 165
Trekk fra 29 fra 165 = 136
Trekk fra 31 fra 136 = 105
Trekk fra 33 fra 105 = 72
Trekk fra 35 fra 72 = 37
Trekk fra 37 fra 37 = 0

Så skriv en 9 over 61. Legg til to nuller til 19, en for hvert par fjernet.
Så kvadratroten av 3.610.000 = 1900.

HÅNDTERER IKKE PERFEKT FIRKANT

Til slutt fungerer denne prosessen for hele tall som ikke er perfekte kvadrater og for desimaler. Det vil bare ikke avsluttes i disse tilfellene (bortsett fra vilkårlig). For en desimal, del også tallet i par med sifre til høyre for desimaltegnet.

For eksempel finne kvadratroten av 3 til 3 desimaler.

Legg til par med nuller for hver desimal du vil ha i svaret, pluss to til for å kunne runde av til gitt plass.

Så skriv 3 som 3 | 00 | 00 | 00 | 00

Trekk fra 1 fra 3 = 2.

Skriv 1 over 3. Få ned et par nuller, legg til 2 => 200.

Multipliser 1 x 10 og legg til 11 = 21.

Trekk fra 21 fra 200 = 179
Trekk fra 23 fra 179 = 156
Trekk fra 25 fra 156 = 131
Trekk fra 27 fra 131 = 104
Trekk fra 29 fra 104 = 75
Trekk fra 31 fra 75 = 44
Trekk fra 33 fra 44 = 11.

Skriv 7 over det første paret med nuller.

Få ned neste par med nuller og legg til 11 => 1100.

Multipliser 33 x 10 og legg til 11 = 341.

Trekk fra 341 fra 1100 = 759.
Trekk fra 343 fra 759 = 416.
Trekk fra 345 fra 416 = 71.

Skriv 3 over det andre paret med nuller.

Legg til neste par med nuller til 71 => 7100.

Multipliser 345 x 10 og legg til 11 = 3461.

Trekk fra 3461 fra 7100 = 3639.
Trekk fra 3463 fra 3639 = 176.

Skriv 2 over det tredje paret med nuller.

Legg til det siste paret med nuller til 176 => 17600

Multipliser 3463 x 10 og legg til 11 = 346241.

Vi kunne fortsette, men det er nok å innse at neste siffer vil være 0, og derfor er svaret vårt at kvadratroten av 3 er 1,732 avrundet til tre desimaler.