Hva er et teorem?

Ordet «teorem» er relatert til «teori» og «teoretisk», alle ord som kommer fra det greske «teorein», som betyr «å se på.» Ordet kom senere til å bety «studere» og «spekulere». Ordet «teorem» beskriver nå et utsagn som anses som sant fordi det rettferdiggjøres gjennom matematisk logikk. Det er med andre ord ikke selvinnlysende, men snarere etablert av et bevis.

Teoremer er kjernen i matematikk, og de anses å beskrive fakta som er absolutt sanne. Matematikk handler grunnleggende om å oppdage og forstå lovene som ligger til grunn for vårt system av tall, geometri og algebra. Lover og prinsipper er egentlig bare teoremer som har bred anvendelse.

Følgende er de ti mest kjente teoremene studenter sannsynligvis vil møte gjennom matematikktimene på videregående skole og høyskoler.

Pythagoras teorem

En av de mest kjente teoremene er Pythagoras teorem. Den ble oppkalt etter den greske matematikeren Pythagoras, som var leder for en liten gruppe matematikere som dyrket matematikk og viet seg til studiet av tall og filosofi. Selv om selve teoremet var kjent i 1000 år før Pythagoras tid, var han den første personen som kom med et bevis.

Teoremet handler om forhold mellom sidelengder i en rettvinklet trekant og sier ganske enkelt at kvadratet på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene til de to andre sidene. Hvis hypotenusen (siden motsatt den rette vinkelen, eller langsiden) kalles c og de to andre sidene er a og b, kan vi også uttrykke denne teoremet med formelen a2 + b2 = c2.

Euklids bevis på primtallenes uendelighet

Euklid var en gresk matematiker født på midten av 400-tallet f.Kr. som var kjent som geometriens far. Ved å bruke bare et lite sett med aksiomer, utledet han alle prinsippene for det som ble kjent som euklidisk geometri, som dominerte studiet av matematikk frem til det 20. århundre. En av hans mest kjente teoremer er beviset hans på at det finnes et uendelig antall primtall.

Beviset hans er avhengig av aksiomet om at alle ikke-primtall, eller sammensatte, tall kan brytes ned i primfaktorer. Han sa så at for ethvert sett med primtall er det mulig å finne et annet primtall som ikke er i settet ved å multiplisere tallene i settet og legge til 1. Hvis for eksempel et sett med primtall er {3, 5, 11}, kan vi finne et nytt primtall med denne ligningen: 1 + (3 x 5 x 11) = 166. Det nye tallet kan ikke ha noen faktorer i den opprinnelige mengden. Faktorene til 166 er 1, 2, 86 og 166.

Derfor, hvis vi tar alle primtallene som finnes, multipliserer dem og legger til 1, får vi et nytt primtall. Derfor har antallet primtall ingen grense.

Aritmetikkens grunnleggende teorem

Euclid er også ansvarlig for et teorem kjent som Fundamental Theorem of Arithmetic, som sier at alle tall er sammensatt av primfaktorer, grunnlaget for den forrige teoremet. Denne teoremet sier at hvert tall høyere enn 13 enten er et primtall eller et produkt av primfaktorer. Den sier også at hvert tall har en unik primfaktorisering som bare har én mulig representasjon. Med andre ord, hvis tallet 100 faktoriseres i primtall, får vi 2 x 2 x 5 x 5. Teoremet sier at dette er den eneste mulige primtallsfaktoriseringen av tallet 100.

Teoremet forklarer også hvorfor tallet 1 ikke regnes som et primtall. Hvis det var det, kunne et annet tall ha flere primfaktoriseringer. Med andre ord kan 100 faktoriseres som 1 x 2 x 2 x 5 x 5 eller 1 x 1 x 2 x 2 x 5 x 5, osv.

Fire-fargesetningen
Denne teoremet sier at hvis et flatt plan er delt inn i et hvilket som helst antall sammenhengende områder, kreves det minimum fire farger for å farge i hvert område slik at ingen to farger berører hverandre.

Firefargesteoremet er et mye nyere teoremet enn de som er diskutert tidligere, og det er kjent fordi det var det første teoremet som ble bevist med en datamaskin. Det ble først bevist i 1975 av Kenneth Appel og Wolfgang Haken ved å bruke et dataprogram designet spesielt for beviset. Ytterligere to programvareassisterte bevis ble laget i 1997 og i 2005. Matematikere leter imidlertid fortsatt etter et enklere og mer elegant bevis.

Kvadratroten til 2 er irrasjonell

Selv om dette beviset har blitt tilskrevet de pythagoreiske matematikerne, er den virkelige opprinnelsen til det ukjent, og eksperter mener det kom fra gamle egyptiske kilder. Denne teoremet sier at kvadratroten av 2 er irrasjonell, noe som betyr at den ikke kan uttrykkes som et forhold eller en brøkdel av to tall.

«Kvadratroten av 2» kan svare på spørsmålet «hva er lengden på diagonalen til en 1-tommers firkant?» I følge Pythagoras teorem ovenfor, er a2 + b2 = c2, så 12 + 12 = 22. Dermed er √12 + √12 = √22 og 1 + 1 = √2.

En måte å bevise at √2 er irrasjonell på er å starte med det faktum at når vi kvadrerer et rasjonelt tall, har hver primfaktor en jevn eksponent. Siden √22 er 2 og tallet 2 kan uttrykkes som 21/11 (22/21 eller 23/22 osv.), må kvadratroten av 2 være irrasjonell.

Pi er irrasjonell

Et annet kjent irrasjonelt tall er pi, også skrevet med den greske bokstaven π. Pi er forholdet mellom omkretsen (avstanden rundt) og diameteren (avstanden på tvers) av enhver sirkel. Mens dette forholdet ble observert av eldgamle kulturer, var Archimedes fra Syracuse, som levde i det andre århundre fvt, den første som nøyaktig beregnet verdien av pi. Det var ikke før på 1800-tallet at en matematiker, John Heinrich Lambert, beviste at pi er et irrasjonelt tall, noe som betyr at det ikke kan uttrykkes som et forhold mellom to tall. Som et irrasjonelt tall er pi uendelig og ikke-repeterende.

Fermats lille teorem

Pierre de Fermat, en fransk matematiker fra 1600-tallet, er kjent som faren til moderne tallteori. Hans lille teorem er en test for å avgjøre om et tall er primtall eller ikke. Den sier at hvis P er primtall, så er for et hvilket som helst heltall a, aP – a delelig med P.

For eksempel 23 – 2 = 6. 6 er delelig med 3 fordi 3 er primtall. På den annen side er 34 – 3 = 78. 78 er ikke delelig med 4 fordi 4 ikke er primtall. Denne teoremet er nyttig for å sjekke et heltall hvis primalitet ikke er kjent fordi det raskt kan identifisere ikke-primtall.

Fermats siste teorem

Denne teoremet er kjent fordi den ble ansett som uløselig i mer enn 350 år. Fermat skrev det i margen av en matematikktekst i 1638, og en matematiker ved navn Andrew Wiles kom med beviset i 1995, etter å ha jobbet med det i syv år.

Teoremet sier at når n er et hvilket som helst tall høyere enn 2, og x, y, z og n alle er naturlige tall, er det ingen løsning på likningen xn + yn = zn. Ligningen er løsbar når n = 2, i så fall er x, y og z kjent som «pytagoreiske trillinger.» Men hvis n er 3 eller større, kan ikke x, y og z være naturlige tall.

Loven om store tall

Denne teoremet ble først uttalt av Jakob Bernoulli, en sveitsisk matematiker som levde i siste halvdel av 1600-tallet. Det har blitt kalt «Bernoullis teorem», men blir oftere referert til som loven om store tall. Denne loven er relatert til statistikkfeltet, og den sier at når vi observerer en prosess som har tilfeldige utfall, som et myntkast eller et terningkast, vil gjennomsnittsresultatet nærme seg det forventede resultatet etter hvert som antall forsøk øker.

Med andre ord, hvis en mynt kastes, er det en 50 % sjanse for at den lander på hodet, så vi kan forvente at når en mynt kastes gjentatte ganger, vil den lande på hodet 50 % av tiden. Selvfølgelig er det mulig å kaste 5 eller 10 hoder på rad, noe som betyr at resultatene kan starte langt fra 50%. Men mens vi fortsetter å kaste mynten, vil gjennomsnittsresultatene til slutt stabilisere seg nær 50%.

Primtallssetningen

Denne teoremet tar opp spørsmålet om hvordan primtall er fordelt på de positive heltallene. Bevist i 1896 av to uavhengige matematikere, Jacques Hadamard og Charles Jean de la Vallée-Poussin, sier teoremet at primtall forekommer sjeldnere når de blir større og kvantifiserer den frekvensen med formelen π(x) ~ x/log(x) hvor π(x) refererer til antall primtall som er mindre enn eller lik et hvilket som helst reelt tall x.

Les også: Informasjon om Geometri